2012/07/07

• Einstein의 상대론 기본 가정
  1. 어떤 관성 기준계(등속운동 하는 계)에 있는 어떤 관찰자가 보아도 물리법칙은 동일하다
  2. 어떤 관성 기준계에서나 진공에서의 빛의 속력은 $c$로 동일하다.

• 시간 지연 (현대 물리 책 참고)

$$t=\gamma\tau,\quad\text{where }\tau=\text{Proper time}$$

• Lorentz Factor

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad\text{where }\beta\equiv v/c$$

• Proper Time $\tau$
  • 사건이 일어나고 있는 관성계에서 측정한 시간.
  • 예를들어 뮤온이 지구에 떨어지는걸 생각해보면, 뮤온이 자기 수명을 자기가 측정한게 $\tau$. 지표면에서 관측자가 측정한 시간이 $t$가 됨. 그래서 뮤온의 실제 수명은 측정되는 수명보다 짧음.

• 길이 수축 (현대 물리 책 잠고)

$$L=\frac{L_0}{\gamma}$$

• $L_0$는 물체와 함께 정지해있는 관찰자가 측정한 길이.
• $L$은 속력 $v$로 물체의 길이 방향 축 상에서 운동하는 관찰자가 측정한 길이.
• 물체와의 상대속력이 0이 아니라면 물체의 길이가 짧아보인다.

• Lorentz Transformation
  • 상대속도 $v$를 가지는 두 계가 있을 때, 한 계에서 일어난 사건을 다른 계에서 기술할 때의 시공간 얽힘에 의해 변형된 시공간 좌표를 나타낸다.

$$\begin{align}t’&=\gamma(t+\beta x/c), & x’&=\gamma(x+\beta ct), \\ y’&=y, & z’&=z.\end{align}$$

• Four-vector
  • Covariant four-vector: $A^\mu=(A^0,A^1,A^2,A^3)$
  • Contravariant four-vector: $A_\mu=(A_0,A_1,A_2,A_3)$
  • Covariant four-vector와 Contravariant four-vector사이의 변환은 metric tensor $g_{\mu\nu}$를 이용하여 다음과 같이 한다.

$$A^\mu=g^{\mu\nu}A_\nu$$

• Metric Tensor

$$g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right),\quad g_\mu{}^\nu=g^\mu{}_\nu=\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$$