어떤 것을 측정하는 실험을 한다고 할 때, 측정을 매우 많이 반복해서 얻을 수 있는 측정값의 분포는  가우시안(Gaussian) 분포, 이항(binomial) 분포 그리고 푸와송(Poisson) 분포로 크게 3가지가 있다.

실험을 한 후에 얻은 분포가 정말 맞는 분포인지 테스트 할 때 \(\chi^2\) 테스트를 사용한다. 측정값이 연속적인 값이든 불연속적인 값이든 상관없이 데이타를 한 빈에 5개 이상이 들어가고 빈 수가 4개 이상인 히스토그램으로 만든다. \(\chi^2\)는 다음과 같이 정의된다.

\[\chi^2=\sum^N_{k=1}\frac{(O_k-E_k)^2}{\sigma_k^2}.\]

위 식에서 \(E_k\)는 \(k\)번째 빈에 기대되는 데이타 갯수이고, \(O_k\)는 \(k\)번째 빈의 측정 데이타 갯수, \(\sigma_k\)는 테스트할 분포의 \(k\)번째 빈에서의 통계오차이다. 이렇게 구한 \(\chi^2\)값이 자유도 \(d\)근처에 있거나 작으면 기대했던 분포와 같은 결과임을 의미한다.

비교를 쉽게 하기 위해 \(\chi^2\)를 자유도 \(d\)로 나눠준 값을 reduced \(\chi^2\)라고 한다.

\[\tilde{\chi}^2=\frac{\chi^2}{d}.\]

이 때에는 \(\tilde{\chi}^2\)값이 1보다 많이 크지 않거나 작으면 우리가 예상했던 분포와 맞다는 것을 의미한다.

\(\tilde{\chi}^2\)값이 1보다 큰 경우, 우리가 실험에서 얻은 reduced \(\chi^2\)를 \(\tilde{\chi}^2_0\)라고 하면, 자유도 \(d\)에서의 \(\tilde{chi}^2\) 확률분포를 이용해서 \(\tilde{\chi}^2_0\)보다 큰 값이 나올 확률을 구하여 분포가 맞는지 틀리는지 여부를 결정한다.

\(N\)개의 데이타 포인트가 있을 때, 가장 일반적인 \(\chi^2\)의 정의는 다음과 같다.

\[\chi^2=\sum^N_{i=1}\left(\frac{y_i-f(x_i)}{\sigma_i}\right)^2.\]

\(f(x_i)\)는 \(x_i\)에서 기대되는 값, \(y_i\)는 실험값, \(\sigma_i\)는 표준편차이다.